В одном из предыдущих уроков мы рассматривали , как найти линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками (пересечение треугольных пластин). Но существует и еще один тип задач на пересечение двух плоскостей общего вида. При этом, как правило, исходный чертеж выглядит таким образом, что первая и вторая заданные плоскости не имеют никаких общих точек, как бы одна слева, другая справа. На рисунке ниже изображено типовое задание: найти линию пересечения плоскостей, одна из которых задана треугольником ABC, а вторая прямыми m и n.

Для решения этой задачи нам потребуется ввести вспомогательные секущие плоскости. Чаще всего (но не обязательно) встречается использование вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей. На изображении ниже показан геометрический смысл решения (не исключаю, что эта картинка покажется вам непонятной - тут все зависит от вашей подготовленности на данный момент. НО! Даже если вы не понимаете этого рисунка, вы все равно сможете решить свою задачу, пошагово следуя за инструкцией приведенной ниже).

Попробуем разобраться, что же тут изображено. Мы имеем две произвольные плоскости, обозначенные как плоскость 1 и плоскость 2. Для того, что бы найти линию пересечения плоскостей мы будем вводить вспомогательные секущие плоскости частного положения (фронтально-проецирующие). Сначала мы введем плоскость Qv1 и найдем линию ее пересечения с плоскостью 1, а затем и с плоскостью 2. Точка пересечения двух найденных линий M будет одновременно принадлежать и плоскости 1, и плоскости 2, и плоскости Qv1 (что впрочем уже не так важно) , а значит будет также принадлежать линии пересечения плоскостей 1 и 2, которую мы как раз ищем. Введем еще одну вспомогательную плоскость и повторим для нее вышеописанные шаги. В результате получим точку N. Проведя через точки M и N прямую, мы получим линию пересечения плоскостей 1 и 2.

Пошаговая инструкция.

1. Введем вспомогательную горизонтальную фронтально-проецирующую плоскость Qv1. Найдем точки ее пересечения на фронтальной проекции с плоскостью АВС и плоскостью, заданной параллельными прямыми. Получим две пары точек: 1',2' и 3',4'.

2. Найдем горизонтальные проекции полученных точек. Проведя через точки 1 и 2 прямую, мы получим линию пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью АВС, а проведя прямую через точки 3 и 4 мы получим линию пересечения Qv1 с плоскостью заданной прямыми n и m. В пересечении двух полученных прямых будет лежать точка M - точка, принадлежащая искомой линии пересечения двух плоскостей.

3. Введем вторую вспомогательную плоскость Qv2 и выполним для нее те же действия - сначала найдем фронатльные проекции точек пересечения с прямыми, которыми заданы плоскости.

4. По линиям связи находим горизонтальные проекции точек 5,6,7,8. Теперь проведем две прямые через точки 5-6 и 7-8. Результатом станет их пересечение в точке, которую мы назовем N. Это будет вторая точка, принадлежащая искомой линии пересечения заданных плоскостей.

4. Соединив точки M и N мы получим искомую линию пересечения плоскостей, заданных треугольником АВС и двумя параллельными прямыми m и n. У меня этот отрезок отиечен красным цветом, как результат решения задачи.

5. Последним шагом мы должны найти фронтальную проекцию найденной прямой. Для этого переносим снизу вверх проекции точек M и N: M на линию, которой мы задали вспомогательную секущую плоскость Qv1, а N соответственно на Qv2. Соединив точки M' и N' мы получим фронтальную проекцию линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Как видите, в алгоритме ничего сложного нет. Немного неоднозначно для понимания геометрического смысла в пространстве, но и этот аспект мы попытались с вами разобрать. Нередко решения бывают осложнены неразумным расположением заданных плоскостей - точки M и N порой так и норовят выйти за пределы оговоренного формата листа. Но саму суть решения вы теперь знаете. Вооружайтесь алгоритмом построения, кликайте напоследок куда-нибудь в знак благодарности и расскажите о моем сайте всем, кто хочет решать начерталку сам, но не может понять, что же именно он начертил в тетрадке на лекции по начертательной геометрии :)

Удачи в учебе!